4.2
Fungsi Turunan

Definisi 4.2.1.
Turunan fungsi $f(x)$ terhadap $x$ didefinisikan dengan $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Domain $f'$ adalah semua $x$ dalam domain $f$ sehingga limit tersebut ada.
Definisi 4.2.2.
Suatu fungsi $f$ dikatakan dapat diturunkan (differentiable) di $x=x_0$ jika $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ ada. Jika $f$ dapat diturunkan di setiap titik pada interval terbuka $(a,b)$, maka dikatakan $f$ dapat diturunkan pada $(a,b)$.
Adapun fungsi $f$ yang tidak mempunyai turunan di $x_0$ diklasifikasikan sebagai berikut.
  1. Grafik $f$ membentuk patahan atau sudut di $x_0$.
  2. Grafik $f$ mempunyai garis singgung vertikal di $x_0$.
  3. Fungsi $f$ tidak kontinu di $x_0$.
Teorema 4.2.1.
Jika suatu fungsi $f$ dapat diturunkan di $x_0$, maka $f$ kontinu di $x_0$.
Turunan kiri $f'_-$ dan turunan kanan $f'_+$ masing-masing didefinisikan oleh $$f'_-(x)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad \text{dan}\quad f'_+(x)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Pada titik-titik $x=x_0$ di mana $f'_-(x_0)$ ada, dikatakan bahwa fungsi $f$ dapat diturunkan dari arah kiri dan pada titik-titik $x=x_0$ di mana $f'_+(x_0)$ ada, dikatakan bahwa fungsi $f$ dapat diturunkan dari arah kanan. Adapun turunan $f'(x)$ dikatakan ada jika turunan kiri $f'_-$ dan turunan kanan $f'_+$ ada, serta memiliki nilai yang sama.

Turunan (derivatif) dari fungsi $y=f(x)$ memiliki beberapa notasi berikut. $$f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=D_x[f(x)]=y'(x)=\frac{dy}{dx}$$ Untuk turunan $f(x)$ di titik $x=x_0$, notasinya adalah $$f'(x_0)=\frac{d}{dx}[f(x)]\Big|_{x=x_0}=y'(x_0)=\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}$$
Contoh 1
Diberikan $f(t)=2t^2-t$. Dapatkan $f'(t)$.
Pembahasan
Diketahui $f(t)=2t^2-t$. \begin{align*} f'(t)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{2(t+h)^2-(t+h)-(2t^2-t)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{2(t^2+h^2+2th)-t-h-2t^2+t}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{2t^2+2h^2+4th-h-2t^2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{2h^2+4th-h}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{h(2h+4t-1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}(2h+4t-1)\\ &=2(0)+4t-1\\ f'(t)&=4t-1 \end{align*}
Contoh 2
Tunjukkan bahwa $f(x)=\begin{cases} x^2+1,\quad x<1\\ 2x,\quad x\geq 1 \end{cases}$ kontinu dan dapat diturunkan di $x=1$.
Pembahasan
Perhatikan bahwa $x_0=2$ dan $x_1=4$ sehingga $h=x_1-x_0=4-2=2$. Perhatikan bahwa untuk turunan dari kiri, fungsi yang digunakan adalah $f(x)=x^2+1$. \begin{align*} f'_-(x)&=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ f'_-(1)&=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)^2+1-(1^2+1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{1+h^2+2h+1-2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{h^2+2h}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{h(h+2)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}(h+2)\\ &=0+2\\ f'_-(1)&=2 \end{align*} Adapun untuk turunan dari kanan , fungsi yang digunakan adalah $f(x)=2x$. \begin{align*} f'_+(x)&=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ f'_+(1)&=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2(1+h)-2(1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2+2h-2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}2\\ f'_+(1)&=2 \end{align*} Terlihat bahwa turunan dari kiri dan turunan dari kanan $f$ di $x=1$ ada dan nilainya sama. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa $f$ dapat diturunkan di $x=1$ dan karena hal tersebut, $f$ kontinu di $x=1$.
Latihan!
Dapatkan $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari $\displaystyle y=\frac{1}{x+1}$.
Jawab:
EAS 2018
Tunjukkan bahwa $f(x)=\begin{cases} 2x+1,\quad x\leq 1\\ x+2,\quad x>1 \end{cases}$ adalah fungsi kontinu tetapi tidak dapat diturunkan di $x=1$.
Jawab: